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共軛復(fù)數(shù)的運算公式

共軛復(fù)數(shù)的運算公式

瀏覽次數(shù):1155次    時間:2024-07-27
  • 資訊詳情
  • 共軛復(fù)數(shù)是指具有相同實部但虛部符號相反的兩個復(fù)數(shù)。例如,$z=a+bi$的共軛復(fù)數(shù)為$\bar=a-bi$。在數(shù)學(xué)運算中,共軛復(fù)數(shù)有一些特殊的性質(zhì)和運算公式。本文將介紹共軛復(fù)數(shù)的運算公式及其應(yīng)用。

    首先,我們來看共軛復(fù)數(shù)的加法運算。設(shè)$z_1=a+bi$,$z_2=c+di$,則它們的和為:

    $$

    z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i

    $$

    它的共軛復(fù)數(shù)為:

    $$

    \overline=(a+c)-(b+d)i

    $$

    我們可以發(fā)現(xiàn),$\overline=\bar+\bar$。即,兩個共軛復(fù)數(shù)的和的共軛復(fù)數(shù)等于它們分別的共軛復(fù)數(shù)的和。

    接下來,我們來看共軛復(fù)數(shù)的乘法運算。設(shè)$z_1=a+bi$,$z_2=c+di$,則它們的積為:

    $$

    z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i

    $$

    它的共軛復(fù)數(shù)為:

    $$

    \overline=(ac-bd)-(ad+bc)i

    $$

    我們可以發(fā)現(xiàn),$\overline=\bar\bar$。即,兩個共軛復(fù)數(shù)的積的共軛復(fù)數(shù)等于它們分別的共軛復(fù)數(shù)的積。這個性質(zhì)有一個重要的應(yīng)用,就是求復(fù)數(shù)的模長的平方。設(shè)$z=a+bi$,則:

    $$

    |z|^2=z\bar=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

    $$

    這個公式可以用來求復(fù)數(shù)的模長的平方,也可以用來證明兩個復(fù)數(shù)的和的模長平方等于它們的模長的平方之和。

    最后,我們來看共軛復(fù)數(shù)的除法運算。設(shè)$z_1=a+bi$,$z_2=c+di$,則它們的商為:

    $$

    \frac=\frac+\fraci

    $$

    它的共軛復(fù)數(shù)為:

    http://www.8082055.com/common/images/1M7OjoXN8D_2.jpg

    $$

    \overline{\frac}=\frac-\fraci

    $$

    我們可以發(fā)現(xiàn),$\overline{\frac}=\frac{\bar}{\bar}$。即,一個共軛復(fù)數(shù)除以另一個共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于這兩個復(fù)數(shù)分別的共軛復(fù)數(shù)的商。

    綜上所述,共軛復(fù)數(shù)的運算公式有:$\overline=\bar+\bar$,$\overline=\bar\bar$,$\overline{\frac}=\frac{\bar}{\bar}$。這些公式在復(fù)數(shù)的運算中有著重要的應(yīng)用,可以簡化計算,提高效率。

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