多元復合函數(shù)是高等數(shù)學中的重要概念,它由多個函數(shù)組合而成,求導時需要運用鏈式法則。本文將介紹多元復合函數(shù)的求導法則公式。
首先,我們來回顧一元函數(shù)的鏈式法則公式:若 $y=f(u)$,$u=g(x)$,則有 $\frac=\frac\cdot\frac$。這個公式告訴我們,當一個函數(shù) $y$ 是由另一個函數(shù) $u$ 和 $x$ 組合而成時,我們可以通過求導 $u$ 和 $y$ 分別對 $x$ 的導數(shù),并將兩個導數(shù)相乘得到 $y$ 對 $x$ 的導數(shù)。
對于多元函數(shù) $z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,如果 $x_i$ 都是一元函數(shù),我們可以運用一元函數(shù)的鏈式法則公式求導。但是,如果 $x_i$ 是多元函數(shù),我們需要運用多元函數(shù)的鏈式法則公式。
設(shè) $y=f(u_1,u_2,\cdots,u_m)$,$u_i=g_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,則有:
$$
\frac=\sum_^\frac\cdot\frac
$$
其中,$\frac$ 表示 $y$ 對 $x_j$ 的偏導數(shù),$\frac$ 表示 $u_i$ 對 $x_j$ 的偏導數(shù)。
這個公式的意義是,當一個多元函數(shù) $y$ 是由多個函數(shù) $u_i$ 和 $x_j$ 組合而成時,我們可以通過求導 $u_i$ 和 $y$ 分別對 $x_j$ 的偏導數(shù),并將每個偏導數(shù)乘以相應(yīng)的系數(shù)相加得到 $y$ 對 $x_j$ 的偏導數(shù)。
需要注意的是,多元復合函數(shù)的求導法則公式只適用于可導函數(shù)。如果函數(shù)不可導,我們需要尋找其他方法求導。
綜上所述,多元復合函數(shù)的求導法則公式是:
$$
\frac=\sum_^\frac\cdot\frac
$$
http://www.8082055.com/common/images/20170216110816_6716.jpg
運用這個公式,我們可以方便地求解多元復合函數(shù)的導數(shù),進一步應(yīng)用于高等數(shù)學中的各種問題。
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